对于任意 A∈Rm×n, 存在一系列 m 阶初等矩阵 Pi (初等列变换)和 n 阶初等矩阵 Qi (初等行变换), 使 Ps⋯P2P1A 为简化阶梯型矩阵 使 Ps⋯P2P1AQ1Q2Qt=(ErOOO) 为标准型, 其中 r=r(A)
任意 A∈Rm×n, 存在可逆矩阵 P 和 Q 使 PAQ=(ErOOO), r=r(A) (P=Ps⋯P2P1, Q=Q1Q2⋯Qt)
n 阶矩阵 A∈Rn×n 可逆⟺ r(A)=n (满秩) ⟺ A 的标准型为单位矩阵 En
n 阶矩阵 A∈Rn×n 可逆⟺ r(A)=n (满秩) ⟺ A=P1P2⋯Pk (Pi 为初等矩阵) 即: A 可用有限个初等矩阵表示 (A=P1−1⋯Ps−1Q1−1⋯Qt−1)
若 n 阶矩阵 A∈Rn×n 可逆⟺ r(A)=n (满秩) ⟺ A 可只经初等行(列)变换化为单位矩阵 由: [标准型#推论1|推论1]], [[标准型#推论2|推论2](标准型#推论1|推论1]], [[标准型#推论2|推论2)可证明
对于任意 A, 任意 P, Q 为可逆矩阵, 则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) (定义与性质#性质|初等变换不改变秩)
Am×n 与 Bm×n 相抵 ⟺ 存在可逆矩阵 P,Q, 使 PAQ=B