标准型

定义

对于任意 $\mathbf A \in \mathbb R^{m \times n}$, 存在一系列 $m$ 阶初等矩阵 $\mathbf P_i$ (初等列变换)和 $n$ 阶初等矩阵 $\mathbf Q_i$ (初等行变换), 使 $\mathbf P_s \cdots \mathbf P_2 \mathbf P_1 \mathbf A$ 为简化阶梯型矩阵 使 $\mathbf P_s \cdots \mathbf P_2 \mathbf P_1 \mathbf A \mathbf Q_1 \mathbf Q_2 \mathbf Q_t = \begin{pmatrix} \mathbf E_r & \mathbf O \\ \mathbf O & \mathbf O \end{pmatrix}$ 为标准型, 其中 $r = r(\mathbf A)$

推论1

任意 $\mathbf A \in \mathbb R^{m \times n}$, 存在可逆矩阵 $\mathbf P$ 和 $\mathbf Q$ 使 $\mathbf P \mathbf A \mathbf Q = \begin{pmatrix} \mathbf E_r & \mathbf O \\ \mathbf O & \mathbf O \end{pmatrix}$, $r=r(\mathbf A)$ ($\mathbf P = \mathbf P_s \cdots \mathbf P_2 \mathbf P_1$, $\mathbf Q = \mathbf Q_1 \mathbf Q_2 \cdots \mathbf Q_t$)

推论2

$n$ 阶矩阵 $\mathbf A \in \mathbb R^{n \times n}$ 可逆$\iff$ $r(\mathbf A) = n$ (满秩) $\iff$ $\mathbf A$ 的标准型为单位矩阵 $\mathbf E_n$

推论3

$n$ 阶矩阵 $\mathbf A \in \mathbb R^{n \times n}$ 可逆$\iff$ $r(\mathbf A) = n$ (满秩) $\iff$ $\mathbf A = \mathbf P_1 \mathbf P_2 \cdots \mathbf P_k$ ($\mathbf P_i$ 为初等矩阵) 即: $\mathbf A$ 可用有限个初等矩阵表示 ($\mathbf A=\mathbf P_1^{-1} \cdots \mathbf P_s^{-1} \mathbf Q_1^{-1} \cdots \mathbf Q_t^{-1}$)

推论4

若 $n$ 阶矩阵 $\mathbf A \in \mathbb R^{n \times n}$ 可逆$\iff$ $r(\mathbf A) = n$ (满秩) $\iff$ $\mathbf A$ 可只经初等行(列)变换化为单位矩阵 由: [标准型#推论1|推论1]], [[标准型#推论2|推论2](标准型#推论1|推论1]], [[标准型#推论2|推论2)可证明

推论5

对于任意 $\mathbf A$, 任意 $\mathbf P$, $\mathbf Q$ 为可逆矩阵, 则 $r(\mathbf A)=r(\mathbf P \mathbf A)=r(\mathbf A \mathbf Q)=r(\mathbf P \mathbf A \mathbf Q)$ (定义与性质#性质|初等变换不改变秩)

推论6

$\mathbf A_{m \times n}$ 与 $\mathbf B_{m \times n}$ 相抵 $\iff$ 存在可逆矩阵 $\mathbf P, \mathbf Q$, 使 $\mathbf P \mathbf A \mathbf Q = \mathbf B$