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标准型

Kamimika...大约 2 分钟学习笔记

标准型

定义

对于任意 ARm×n\mathbf A \in \mathbb R^{m \times n}, 存在一系列 mm 阶初等矩阵 Pi\mathbf P_i (初等列变换)和 nn 阶初等矩阵 Qi\mathbf Q_i (初等行变换), 使 PsP2P1A\mathbf P_s \cdots \mathbf P_2 \mathbf P_1 \mathbf A简化阶梯型矩阵 使 PsP2P1AQ1Q2Qt=(ErOOO)\mathbf P_s \cdots \mathbf P_2 \mathbf P_1 \mathbf A \mathbf Q_1 \mathbf Q_2 \mathbf Q_t = \begin{pmatrix} \mathbf E_r & \mathbf O \\ \mathbf O & \mathbf O \end{pmatrix}标准型, 其中 r=r(A)r = r(\mathbf A)

推论1

任意 ARm×n\mathbf A \in \mathbb R^{m \times n}, 存在可逆矩阵 P\mathbf PQ\mathbf Q 使 PAQ=(ErOOO)\mathbf P \mathbf A \mathbf Q = \begin{pmatrix} \mathbf E_r & \mathbf O \\ \mathbf O & \mathbf O \end{pmatrix}, r=r(A)r=r(\mathbf A) (P=PsP2P1\mathbf P = \mathbf P_s \cdots \mathbf P_2 \mathbf P_1, Q=Q1Q2Qt\mathbf Q = \mathbf Q_1 \mathbf Q_2 \cdots \mathbf Q_t)

推论2

nn 阶矩阵 ARn×n\mathbf A \in \mathbb R^{n \times n} 可逆    \iff r(A)=nr(\mathbf A) = n (满秩)     \iff A\mathbf A标准型为单位矩阵 En\mathbf E_n

推论3

nn 阶矩阵 ARn×n\mathbf A \in \mathbb R^{n \times n} 可逆    \iff r(A)=nr(\mathbf A) = n (满秩)     \iff A=P1P2Pk\mathbf A = \mathbf P_1 \mathbf P_2 \cdots \mathbf P_k (Pi\mathbf P_i 为初等矩阵) 即: A\mathbf A 可用有限个初等矩阵表示 (A=P11Ps1Q11Qt1\mathbf A=\mathbf P_1^{-1} \cdots \mathbf P_s^{-1} \mathbf Q_1^{-1} \cdots \mathbf Q_t^{-1})

推论4

nn 阶矩阵 ARn×n\mathbf A \in \mathbb R^{n \times n} 可逆    \iff r(A)=nr(\mathbf A) = n (满秩)     \iff A\mathbf A只经初等行(列)变换化为单位矩阵 由: [标准型#推论1|推论1]], [[标准型#推论2|推论2](标准型#推论1|推论1]], [[标准型#推论2|推论2)可证明

推论5

对于任意 A\mathbf A, 任意 P\mathbf P, Q\mathbf Q可逆矩阵, 则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)r(\mathbf A)=r(\mathbf P \mathbf A)=r(\mathbf A \mathbf Q)=r(\mathbf P \mathbf A \mathbf Q) (定义与性质#性质|初等变换不改变秩)

推论6

Am×n\mathbf A_{m \times n}Bm×n\mathbf B_{m \times n} 相抵     \iff 存在可逆矩阵 P,Q\mathbf P, \mathbf Q, 使 PAQ=B\mathbf P \mathbf A \mathbf Q = \mathbf B

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贡献者: wzh
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