秩与方程

一般方程

对于 $m \times n$ (m个方程, n个未知量)的线性方程组 $\mathbf A \mathbf x = \mathbf b$, 增广矩阵为 $\mathop{\mathbf A}\limits^\sim = (\mathbf A, \mathbf b)$, 则解的情况:

• $r(\mathbf A)=r(\mathop{\mathbf A}\limits^\sim)$ $\iff$ 有解 ($\mathbf b$ 可用 $\mathbf x$ 线性表示)

  • $r(\mathbf A) = r(\mathop{\mathbf A}\limits^\sim) = n$ $\iff$ 唯一解 (有效方程数 = 未知量)

  • $r(\mathbf A) = r(\mathop{\mathbf A}\limits^\sim) < n$ $\iff$ 无穷多解 (有效方程数 < 未知量)

    任意解向量相减 $x_1 - x_2$ 都是齐次方程 $\mathbf A \mathbf x = \mathbf 0$ 的解 设特解为 $\mathbf x_0$, 齐次方程通解为 $\boldsymbol \eta$, 则通解为 $\mathbf x_0 + \boldsymbol \eta$

• $r(\mathbf A)<r(\mathop{\mathbf A}\limits^\sim)$ $\iff$ 无解$\iff r(\mathbf A) = r(\mathop{\mathbf A}\limits^\sim)-1$ (系数矩阵和增广矩阵的阶梯形矩阵非零行数不同, 说明有矛盾行)

齐次方程

对于 $m \times n$ (m个方程, n个未知量)的线性方程组 $\mathbf A \mathbf x = \mathbf 0$, 则解的情况:

• $r(\mathbf A)=n$ $\iff$ 有唯一零解$\iff$ $|A| \neq 0$ (满秩, 可逆, 行列式不为零, 线性无关)

• $r(\mathbf A) < n$ $\iff$ 有非零解, 且无穷多解$\iff$ $|A|=0$ (不可逆, 行列式为零, 线性相关)

  且含有 $n - r(\mathbf A)$ 个线性无关的解向量构成的基础解系, 线性表示通解为 $\mathbf x = k_1 \mathbf x_1 + k_2 \mathbf x_2 + \dots + k_{n-r} \mathbf x_{n-r}$

• 若 $m<n$, 则必有非零解

• 若 $m=n$, 则

  • $|A| \neq 0$ $\iff$ 有唯一零解
  • $|A|=0$ $\iff$ 有非零解, 且无穷多解

• 若 $m > n$, 使用秩判断

同解方程组

若 $\mathbf A \mathbf x = \boldsymbol 0$ 与 $\mathbf B \mathbf x = \boldsymbol 0$ 同解 则 $\iff$ $r(\mathbf A) = r(\mathbf B) = r\begin{pmatrix} \mathbf A \\ \mathbf B \end{pmatrix}$