定义与性质

定义

$\mathbf A$ 中若存在 $r$ 阶[子式]]不为零, $r+1$ 阶[[子式](子式]]不为零, $r+1$ 阶[[子式)全为零(或不存在), 则 $r = r(A)$ 为矩阵 $\mathbf A$ 的秩

即: $r$ 为非零子式的最高阶数

性质

对于 $\mathbf A_{m \times n}$ ,

• 秩是唯一的
• $0 \leq r(\mathbf A) \leq min\{m, n\}$$\implies r(\mathbf A) \leq m, 且 r(\mathbf A) \leq n$
• $r(\mathbf A^T) = r(\mathbf A)$
• $r(k\mathbf A) = \begin{cases} r(\mathbf A) &, k \neq 0 \\ 0 &, k = 0 \end{cases}$
• 对于 $\mathbf A$ 的部分矩阵 $\mathbf A_1$, $r(\mathbf A_1) \leq r(\mathbf A)$
• 若 $\mathbf A$ 有 $r$ 阶子式不为零, 则 $r(\mathbf A) \geq r$; 若 $\mathbf A$ 所有 $r$ 阶子式全为零, 则 $r(\mathbf A) < r$
• 初等变换不改变秩 (与初等矩阵相乘秩不变)
• 阶梯形矩阵: $r(\mathbf A)$ 为非零行个数
• 可逆矩阵: $\mathbf A$ 为阶数 $m = n$ (不可能有非零行) 即: $|A| \neq 0 \iff r(A) = n$
• 行列成比例的矩阵 (可写成列$\times$行) $\implies$ $r(\mathbf A) = 1$
• 注意 $r(\mathbf A \mathbf A^T) = r(\mathbf A^T \mathbf A) = r(\mathbf A) = r(\mathbf A^T)$
  • 证明：
  • 只需证 $\mathbf A \mathbf A^T \mathbf x = 0$ 与 $\mathbf A^T \mathbf x = 0$ 为同解方程
  • 因为 $\mathbf A^T \mathbf x = 0$ 的解必满足 $\mathbf A \mathbf A^T \mathbf x = 0$
  • 因为 $\mathbf A \mathbf A^T \mathbf x = 0$ 的解也满足 $\mathbf x^T \mathbf A \mathbf A^T \mathbf x = (\mathbf A^T \mathbf x)^T (\mathbf A^T \mathbf x) = 0$
  • 所以 $\mathbf A^T \mathbf x = 0$, $\mathbf A \mathbf A^T \mathbf x = 0$ 与 $\mathbf A^T \mathbf x = 0$ 为同解方程
  • $r(\mathbf A \mathbf A^T) = r(\mathbf A^T) = r(\mathbf A)$

对于 $\mathbf A_{m \times n}$, $\mathbf B_{n \times q}$

• $r(\mathbf A) + r(\mathbf B) - n \leq r(\mathbf A \mathbf B) \leq min\{r(\mathbf A), r(\mathbf B)\}$
  • 若 $\mathbf A \mathbf B = 0$, 则 $r(\mathbf A) + r(\mathbf B) \leq n$
• $r(\mathbf A + \mathbf B) \leq r(\mathbf A \quad \mathbf B) \leq r\begin{pmatrix} \mathbf A & \mathbf O \\ \mathbf O & \mathbf B \end{pmatrix} = r(\mathbf A) + r(\mathbf B)$
• $r\begin{pmatrix} \mathbf A & \mathbf O \\ \mathbf C & \mathbf B \end{pmatrix} \geq r(\mathbf A) + r(\mathbf B)$