A 中若存在 r 阶[子式]]不为零, r+1 阶[[子式](子式]]不为零, r+1 阶[[子式)全为零(或不存在), 则 r=r(A) 为矩阵 A 的秩
即: r 为非零子式的最高阶数
对于 Am×n ,
- 秩是唯一的
- 0≤r(A)≤min{m,n}⟹r(A)≤m,且r(A)≤n
- r(AT)=r(A)
- r(kA)={r(A)0,k=0,k=0
- 对于 A 的部分矩阵 A1, r(A1)≤r(A)
- 若 A 有 r 阶子式不为零, 则 r(A)≥r; 若 A 所有 r 阶子式全为零, 则 r(A)<r
- 初等变换不改变秩 (与初等矩阵相乘秩不变)
- 阶梯形矩阵: r(A) 为非零行个数
- 可逆矩阵: A 为阶数 m=n (不可能有非零行) 即: ∣A∣=0⟺r(A)=n
- 行列成比例的矩阵 (可写成列×行) ⟹ r(A)=1
- r(AAT)=r(ATA)=r(A)=r(AT)
对于 Am×n, Bn×q
- r(A)+r(B)−n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}
- r(A+B)≤r(AB)≤r(AOOB)=r(A)+r(B)
- r(ACOB)≥r(A)+r(B)