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定义与性质

Kamimika...大约 1 分钟学习笔记

定义与性质

定义

A\mathbf A 中若存在 rr 阶[子式]]不为零, r+1r+1 阶[[子式](子式]]不为零, r+1r+1 阶[[子式)全为零(或不存在), 则 r=r(A)r = r(A) 为矩阵 A\mathbf A 的秩

即: rr非零子式的最高阶数

性质

对于 Am×n\mathbf A_{m \times n} ,

  • 秩是唯一的
  • 0r(A)min{m,n}0 \leq r(\mathbf A) \leq min\{m, n\}    r(A)m,r(A)n\implies r(\mathbf A) \leq m, 且 r(\mathbf A) \leq n
  • r(AT)=r(A)r(\mathbf A^T) = r(\mathbf A)
  • r(kA)={r(A),k00,k=0r(k\mathbf A) = \begin{cases} r(\mathbf A) &, k \neq 0 \\ 0 &, k = 0 \end{cases}
  • 对于 A\mathbf A 的部分矩阵 A1\mathbf A_1, r(A1)r(A)r(\mathbf A_1) \leq r(\mathbf A)
  • A\mathbf Arr 阶子式不为零, 则 r(A)rr(\mathbf A) \geq r; 若 A\mathbf A 所有 rr 阶子式全为零, 则 r(A)<rr(\mathbf A) < r
  • 初等变换不改变秩 (与初等矩阵相乘秩不变)
  • 阶梯形矩阵: r(A)r(\mathbf A)非零行个数
  • 可逆矩阵: A\mathbf A阶数 m=nm = n (不可能有非零行) 即: A0    r(A)=n|A| \neq 0 \iff r(A) = n
  • 行列成比例的矩阵 (可写成列×\times行)     \implies r(A)=1r(\mathbf A) = 1
  • r(AAT)=r(ATA)=r(A)=r(AT)r(\mathbf A \mathbf A^T) = r(\mathbf A^T \mathbf A) = r(\mathbf A) = r(\mathbf A^T)

对于 Am×n\mathbf A_{m \times n}, Bn×q\mathbf B_{n \times q}

  • r(A)+r(B)nr(AB)min{r(A),r(B)}r(\mathbf A) + r(\mathbf B) - n \leq r(\mathbf A \mathbf B) \leq min\{r(\mathbf A), r(\mathbf B)\}
  • r(A+B)r(AB)r(AOOB)=r(A)+r(B)r(\mathbf A + \mathbf B) \leq r(\mathbf A \quad \mathbf B) \leq r\begin{pmatrix} \mathbf A & \mathbf O \\ \mathbf O & \mathbf B \end{pmatrix} = r(\mathbf A) + r(\mathbf B)
  • r(AOCB)r(A)+r(B)r\begin{pmatrix} \mathbf A & \mathbf O \\ \mathbf C & \mathbf B \end{pmatrix} \geq r(\mathbf A) + r(\mathbf B)
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贡献者: wzh
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