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需要牢记的公式

Kamimika...大约 2 分钟学习笔记

需要牢记的公式

立方和差公式

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)a3b3=(ab)(a2+ab+b2) \begin{align} a^3 + b^3 &= (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\ a^3 - b^3 &= (a - b)(a^2 + ab + b^2) \end{align}

A-G-H不等式

平方均值 \geq 算数均值 \geq 几何均值 \geq 调和均值 即:

x12+x22++xn2nx1+x2++xnnx1x2xnnn1x1+1x2++1xn \sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}} \geq \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \geq \dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}}

(当且仅当 x1=x2==xnx_1 = x_2 = \ldots = x_n 时取等号)

绝对值三角不等式

aba±ba+b ||a| - |b|| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|

(当且仅当 a,ba, b 同号时取等号)

和差化积公式

  1. 正加正,正在前: sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}
  2. 正减正,余在前: sinαsinβ=2cosα+β2sinαβ2\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2}
  3. 余加余,余并肩: cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2}
  4. 余减余,负正弦: cosαcosβ=2sinα+β2sinαβ2\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \dfrac{\alpha + \beta}{2} \sin \dfrac{\alpha - \beta}{2}

柯西-施瓦茨不等式

平方和积 \geq 积和平方

(k=1nakbk)2(k=1nakbk)2(k=1nak2)(k=1nbk2) (\sum_{k=1}^n a_k b_k)^2 \leq (\sum_{k=1}^n a_k b_k)^2 \leq (\sum_{k=1}^n a_k^2)(\sum_{k=1}^n b_k^2)

平方和公式

12+22++n2=n(n+1)(2n+1)6 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

(可推出对应的奇数平方和、偶数平方和公式)

双曲函数的性质

{cos2x+sin2x=1cosh2sinh2x=1 \begin{cases} \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \\ \cosh^2 - \sinh^2 x = 1 \end{cases}

应用于换元法: {x2+y2=1    cos2θ+sin2θ=1,(x=cosθ,y=sinθ)x2y2=1    cosh2θsinh2θ=1,(x=coshθ,y=sinhθ)\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 &\implies \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1, (x = \cos \theta, y = \sin \theta) \\ x^2 - y^2 = 1 &\implies \cosh^2 \theta - \sinh^2 \theta = 1, (x = \cosh \theta, y = \sinh \theta) \end{cases}

max/min放缩

最大值 \geq 均值: max{a,b}12(a+b)\max\{a, b\} \geq \dfrac{1}{2} (a + b) 最小值 \leq 均值: min{a,b}12(a+b)\min\{a, b\} \leq \dfrac{1}{2} (a + b)

xmin{a,b}    xaxbx \leq min\{a, b\} \iff x \leq a 且 x \leq bxmax{a,b}    xaxbx \geq max\{a, b\} \iff x \geq a 且 x \geq b

例题1-双阶乘|双阶乘不等式

12n<(2n1)!!(2n)!!<12n1,(n2) \dfrac{1}{2\sqrt{n}}<\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}, (n \geq 2)

因式分解

x4+1=(x22x+1)(x2+2+1) x^4+1 = (x^2-\sqrt 2 x + 1)(x^2+\sqrt 2 + 1)

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贡献者: wzh
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