a3+b3a3−b3=(a+b)(a2−ab+b2)=(a−b)(a2+ab+b2)
平方均值 ≥ 算数均值 ≥ 几何均值 ≥ 调和均值 即:
nx12+x22+⋯+xn2≥nx1+x2+⋯+xn≥nx1x2⋯xn≥x11+x21+⋯+xn1n
(当且仅当 x1=x2=…=xn 时取等号)
∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
(当且仅当 a,b 同号时取等号)
- 正加正,正在前: sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−β
- 正减正,余在前: sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−β
- 余加余,余并肩: cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−β
- 余减余,负正弦: cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β
平方和积 ≥ 积和平方
(k=1∑nakbk)2≤(k=1∑nakbk)2≤(k=1∑nak2)(k=1∑nbk2)
12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)
(可推出对应的奇数平方和、偶数平方和公式)
{cos2x+sin2x=1cosh2−sinh2x=1
应用于换元法: {x2+y2=1x2−y2=1⟹cos2θ+sin2θ=1,(x=cosθ,y=sinθ)⟹cosh2θ−sinh2θ=1,(x=coshθ,y=sinhθ)
最大值 ≥ 均值: max{a,b}≥21(a+b) 最小值 ≤ 均值: min{a,b}≤21(a+b)
x≤min{a,b}⟺x≤a且x≤bx≥max{a,b}⟺x≥a且x≥b
2n1<(2n)!!(2n−1)!!<2n−11,(n≥2)
x4+1=(x2−2x+1)(x2+2+1)