极限的不等式性质

警告

极限运算不能保持严格不等式 例如: $\dfrac{1}{n}>0$, 而 $\dfrac{1}{n} \to 0$

• 极限大小 $\to$ 原数列大小 若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a > b$, 则 $\exists N, \forall n > N, x_n > b$
• 极限大小 $\to$ 原数列大小 若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, $\lim_{n \to \infty} y_n = b$, $a < b$, 则 $\exists N, \forall n > N, x_n < y_n$
• 原数列大小 $\to$ 极限大小: 非严格不等式 若 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, $\lim_{n \to \infty} y_n = b$, $x_n < y_n$ (或 $x_n \leq y_n$), 则 $a \leq b$
• 原数列大小 $\to$ 极限大小: 非严格不等式 若 $x_n$ 收敛, 且$\exists N > 0, \forall n > N, x_n > a$ (或 $x_n \geq a$), 则 $\lim_{n \to \infty} x_n \geq a$