归并定理-海涅定理

数列: 归并定理

$\lim_{n \to \infty} x_n = A \iff$ $\{x_n\}$ 的任一子列 $\{x_{n_k}\}$ 均满足 $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = A$

逆否命题: $\{x_n\}$ 发散 $\iff$ 存在一子列发散 或 存在两子列收敛与不同极限

奇偶项推论: $\lim_{n \to \infty} x_n = A \iff$ $\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = A$ 且 $\lim_{k \to \infty} x_{2n} = A$

函数: 海涅定理

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff$ 对任一满足 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ 且 $x_n \neq x_0$ 的数列 $\{x_n\}$ 均有 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$

也就是: $f(x_0) \to A \iff \begin{cases} \{x_n\} \to x_0 \\ f(x_n) \to A \end{cases}$ , 将函数的极限与数列的极限互相转换

注意

注意: $x_n \neq x_0$

连续看离散 逆否判发散

例题2-海涅定理-逆否判发散

总结

都是部分与整体间的关系