单调有界极限存在定理

数列: 单调有界数列极限存在定理

若 $\{x_n\}$ 单调增加(减少)且有上界(下界), 则 $\{x_n\}$ 收敛, 且极限为上确界(下确界); 若 $\{x_n\}$ 单调增加(减少)且无上界(下界), 则 $\{x_n\}$ 发散, $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty(-\infty)$

函数: 单调有界函数单侧极限存在定理

若 $f(x)$ 在点 $a$ 的某个右邻域 $(a, a+\delta)$ 内单调有界, 则其右极限 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ 存在, 且极限为对应确界; 若 $f(x)$ 在点 $a$ 的某个左邻域 $(a-\delta, a)$ 内单调有界, 则其左极限 $\lim_{x \to a^-} f(x)$ 存在, 且极限为对应确界;

应用

双侧看单侧，判断极限是否存在