易错牢记

• 常见反例

• 洛必达法则

• 等价无穷小

• 泰勒公式

• 微分中值定理

• 极坐标要求 $r \geq 0$ 而不只是 $r$ 有定义

• 积分中值定理

• $\int_{-\infty}^{+\infty} x dx$ 不可积，$\int_{-1}^1 \dfrac{dx}{x}$ 也不可积，故积分区间关于原点对称积奇函数不一定是0

• 定积分换元或换dx都需要变上下限

• 定积分常见方法

• 定积分区间再现: 令 $t=\pi-x$ 则, $\int_0^\pi f(x) dx = \int_\pi^0 f(\pi-t) (-dt) = \int_0^\pi f(\pi-t) dt$

• 注意定积分的定义 $\lim_{||T \to 0||} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$ 乘的是子区间长度, 而不是除以区间数量 $n$ (误区)

• 常见积分表

• 沃利斯公式

• 积分: 三角换元，拆凑，倒置换，倒微分

• 分部积分原则: 反对幂三指

• 求 $\int f(x) e^x dx$ 可以通过凑 $[g(x) e^x]' = [g(x) + g'(x)] e^x = f(x) e^x$ 解出 $g(x)$ 从而求出积分 ($g(x)$ 需假设形式, 不要求微分方程, 否则会循环)

• 曲率 $= \left|\dfrac{1}{R}\right| = \left| \dfrac{d\theta}{ds} \right| = \left|\dfrac{y''}{(1+y'^2)^\frac{3}{2}}\right|$ 记得加绝对值

• 注意实际问题求解，如长度 $ds = \sqrt{1 + y'^2} dx \neq dx$ 需考虑变化率, 相应的弧长($\theta-r$ 图面积) $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{r^2 + r'^2} d\theta \neq r d\theta$

• 一阶线性微分方程#一阶线性非齐次微分方程 (1-LNH) 公式（注意化为标准形式）

• 线性微分方程#刘维尔公式

• 遇到 $xy' - y$, 换元 $u = \dfrac{y}{x}$, 则 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d(ux)}{dx} = \dfrac{udx + xdu}{dx} = u + x\dfrac{du}{dx}$

• 进行与 $x$ 有关的换元, 需注意 $y' = \dfrac{dy}{dx}$ 也需换元 例如(常系数线性非齐次微分方程#欧拉方程|欧拉方程) $x = e^t$, $y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{e^t dt}$, $y'' = \dfrac{dy'}{dx} = \dfrac{\dfrac{d^2 y}{dt^2} - \dfrac{dy}{dt}}{e^{2t}}$

• $(\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \alpha) = |\boldsymbol \alpha|^2 = a_1^2 + \cdots + a_n^2$ 不用开根号