相似对角化

提示

若 $(\mathbf A - \lambda_1 \mathbf E)(\mathbf A - \lambda_2 \mathbf E) = 0$ 且 $\lambda_1 \neq \lambda_2$, 则 $\mathbf A$ 必能对角化 根据定义与性质#性质|秩的性质 得: $r(\mathbf A - \lambda_1 \mathbf E) + r(\mathbf A - \lambda_2 \mathbf E) \leq n$ 由于乘以常数不改变秩: $r(\mathbf A - \lambda_1 \mathbf E) + r(-\mathbf A + \lambda_2 \mathbf E) \geq r((\lambda_1 - \lambda_2) \mathbf E) = n$ 故 $r(\mathbf A - \lambda_1 \mathbf E) + r(\mathbf A - \lambda_2 \mathbf E) = n$

1. 若 $r(\mathbf A - \lambda_i \mathbf E) = 0$, 则 $\mathbf A = \lambda_i \mathbf E$ 可对角化
2. 否则 $r(\mathbf A - \lambda_1 \mathbf E) < n$ 且 $r(\mathbf A - \lambda_2 \mathbf E) < n$, 则 $|\mathbf A - \lambda_1 \mathbf E| = |\mathbf A - \lambda_2 \mathbf E| = 0$ 特征值 $\lambda_1$ 对应线性无关的特征向量: $n - r(\mathbf A - \lambda_1 \mathbf E)$ 个 特征值 $\lambda_2$ 对应线性无关的特征向量: $n - r(\mathbf A - \lambda_2 \mathbf E)$ 个 总几何重数: $n - r(\mathbf A - \lambda_1 \mathbf E) + n - r(\mathbf A - \lambda_2 \mathbf E) = n$

故可对角化