线性空间

定义

对于集合 $V$ 和数域 $F$, 在 $V$ 中的元素之间定义加法运算 在 $F$ 和 $V$ 的元素之间定义纯量乘法

• 加法满足: $\boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in V$
  1. 交换律: $\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta = \boldsymbol \beta + \boldsymbol \alpha$
  2. 结合律: $(\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta) + \boldsymbol \gamma = \boldsymbol \alpha + (\boldsymbol \beta + \boldsymbol \gamma)$
  3. 零元存在性: $\boldsymbol \alpha + \mathbf 0 = \boldsymbol \alpha$
  4. 负元存在性: $\exists \boldsymbol \beta \in V, \boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta = 0$
• 乘法满足: $k, l \in F, \boldsymbol \alpha, \boldsymbol \beta \in V$
  1. 单位元存在性: $1\boldsymbol \alpha = \boldsymbol \alpha$
  2. 结合律: $k(l\boldsymbol \alpha) = (kl)\boldsymbol \alpha = l(k\boldsymbol \alpha)$
  3. 数的分配律: $(k + l) \boldsymbol \alpha = k\boldsymbol \alpha + l\boldsymbol \alpha$
  4. 向量的分配律: $k(\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta) = k\boldsymbol \alpha + k\boldsymbol \beta$ 则称 $V$ 关于向量加法和纯量乘法组成 $F$ 上的一个线性空间 即 $V$ 是 $F$ 上的线性空间

例子

符号	描述
$\mathbb R^n$	$\mathbb R$ 上全体 $n$ 维向量集合
$\mathbb R^{m \times n}$	$\mathbb R$ 上全体 $m \times n$ 阶矩阵集合
$\mathbb R[x]$	$\mathbb R$ 上全体一元多项式
$C[a, b]$	$[a, b]$ 上全体连续函数
$D^{(n)}[a, b]$	$[a, b]$ 上全体 $n$ 次可微函数