同构映射

定义

若 $V$, $V'$ 是 $F$ 上两个线性空间 若存在映射 $\sigma: V \to V'$ 满足 $\sigma(k\boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta) = k\sigma(\boldsymbol \alpha) + \sigma(\boldsymbol \beta)$ (线性性) (两边的加法和纯量乘法定义不一定相同) 则称 $\sigma$ 为 $V$ 到 $V'$ 的一个同构映射 也称 $V$ 与 $V'$ 同构

性质1

若 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_n$ 线性相关, $\implies$ $\sigma(\boldsymbol \alpha_1), \sigma(\boldsymbol \alpha_2), \dots \sigma(\boldsymbol \alpha_n)$ 线性相关

性质2

$F$ 上任意一个 $n$ 维线性空间均与 $F^n$ 同构 (也就是说可以找到把任意 $n$ 维线性空间映为 $n$ 维向量的映射)