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常用矩阵

Kamimika...大约 2 分钟学习笔记

常用矩阵

零矩阵

O\mathbf O (元素全为零)

行矩阵/列矩阵

即行向量/列向量 如: A=(a1,a2,,an)\mathbf A = (a_1, a_2, \dots, a_n), B=(b1b2bn)\mathbf B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} (向量默认为列向量, 行向量用转置表示)

方阵

行列数相同的矩阵 如 A=(a11a12a1na21a22a2nan1an2ann)\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

对角矩阵(\subset 方阵)

A=(aij)n\mathbf A = (a_{ij})_ni,j,ij\forall i, j, i \neq j, 有 aij=0a_{ij} = 0非主对角线上的元素全为零的矩阵 (主对角线上也可以有零)

A=(a11a22ann)\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{pmatrix} 简记为: A=diag(a11,a22,,ann)\mathbf A = \text{diag}(a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn})

单位矩阵(\subset 对角矩阵)

主对角元全为 1 的对角矩阵 用 E\mathbf EI\mathbf I 表示

En=(111)\mathbf E_n = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix}

数量矩阵(\subset 对角矩阵)

主对角元全相等的对角矩阵 用 kEk\mathbf EkEnk\mathbf E_n 表示

A=(kkk)\mathbf A = \begin{pmatrix} k & & & \\ & k & & \\ & & \ddots & \\ & & & k \end{pmatrix}

三角矩阵

上三角矩阵

主对角线以下元素全为零的矩阵 (其他位置也可以有零)

A=(a11a12a1na22a2nann)\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{pmatrix}

严格上三角矩阵

aiia_{ii} 也为零的情况

下三角矩阵

主对角线以上元素全为零的矩阵 (其他位置也可以有零)

A=(a11a21a22an1an2ann)\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

严格下三角矩阵

aiia_{ii} 也为零的情况

对称矩阵与反对称矩阵

对称矩阵

关于主对角线对称的元素相等aij=ajia_{ij} = a_{ji}

满足条件: A=AT\mathbf A = \mathbf A^T

反对称矩阵

关于主对角线对称的元素和为零aij+aji=0a_{ij} + a_{ji} = 0    aii=0\implies a_{ii} = 0对角线必全为0

满足条件: A=AT\mathbf A = -\mathbf A^T

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贡献者: wzh
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