常用矩阵

零矩阵

$\mathbf O$ (元素全为零)

行矩阵/列矩阵

即行向量/列向量 如: $\mathbf A = (a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\mathbf B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$ (向量默认为列向量, 行向量用转置表示)

方阵

行列数相同的矩阵 如 $\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

对角矩阵($\subset$ 方阵)

$\mathbf A = (a_{ij})_n$ 中 $\forall i, j, i \neq j$, 有 $a_{ij} = 0$ 即非主对角线上的元素全为零的矩阵 (主对角线上也可以有零)

$\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{pmatrix}$ 简记为: $\mathbf A = \text{diag}(a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn})$

单位矩阵($\subset$ 对角矩阵)

主对角元全为 1 的对角矩阵 用 $\mathbf E$ 或 $\mathbf I$ 表示

$\mathbf E_n = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix}$

数量矩阵($\subset$ 对角矩阵)

主对角元全相等的对角矩阵 用 $k\mathbf E$ 或 $k\mathbf E_n$ 表示

$\mathbf A = \begin{pmatrix} k & & & \\ & k & & \\ & & \ddots & \\ & & & k \end{pmatrix}$

三角矩阵

上三角矩阵

主对角线以下元素全为零的矩阵 (其他位置也可以有零)

$\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{pmatrix}$

严格上三角矩阵

$a_{ii}$ 也为零的情况

下三角矩阵

主对角线以上元素全为零的矩阵 (其他位置也可以有零)

$\mathbf A = \begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

严格下三角矩阵

$a_{ii}$ 也为零的情况

对称矩阵与反对称矩阵

对称矩阵

关于主对角线对称的元素相等 即 $a_{ij} = a_{ji}$

满足条件: $\mathbf A = \mathbf A^T$

反对称矩阵

关于主对角线对称的元素和为零 即 $a_{ij} + a_{ji} = 0$$\implies a_{ii} = 0$ 即对角线必全为0

满足条件: $\mathbf A = -\mathbf A^T$