易错与必背

• $|k \mathbf A| = k^n |\mathbf A|$ 而不是 $k|\mathbf A|$
• 四阶行列式没有公式, 二三阶是特例
• 向量、基、坐标、变换
  • 向量 $\boldsymbol \alpha$ 在基 $(\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol \varepsilon_n)$ 下坐标为 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$, 则 $\boldsymbol \alpha = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol \varepsilon_n) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$
  • 向量 $\boldsymbol \alpha$ 通过线性变换 $\mathscr A$ 得到 $\mathscr A \boldsymbol \alpha = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \cdots, \boldsymbol \varepsilon_n) \mathbf A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ ($\mathbf A$ 为 $\mathscr A$ 对应的矩阵, 注意与方程组系数是转置关系)
• 基过渡矩阵 从 $(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n) = \mathbf A$ 到 $(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \cdots, \boldsymbol \beta_n) = \mathbf B$ 的基过渡矩阵满足 $\mathbf B = \mathbf A \mathbf C$, 即 $\mathbf C = \mathbf A^{-1} \mathbf B$ 因此 $\boldsymbol \gamma = (\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \mathbf A \mathbf x = \mathbf B \mathbf C^{-1} \mathbf x$, 所以变换后的坐标为 $\mathbf C^{-1} \mathbf x$ 而不是想象中的 $\mathbf C \mathbf x$
• 定义与性质#性质|秩的性质
• 秩与方程
• 标准正交基#施密特正交法
• 所有等价关系