正定矩阵

前提: $\mathbf A$ 为实对称矩阵, 则 $\mathbf A$ 为正定矩阵 $\iff$ $\mathbf A$ 的正惯性指数 $= n$$\iff$ $\mathbf A$ 的特征值全大于零 $\forall \lambda_i > 0$$\iff$ $\exists \mathbf P$, $\mathbf P^T \mathbf A \mathbf P = \mathbf E$$\iff$ $\mathbf A = \mathbf M^T \mathbf M$ ($\mathbf M$ 可逆) $= (\mathbf P \mathbf Q)^T (\mathbf P \mathbf Q)$ ($\mathbf P \mathbf Q$ 可逆)

另外, $\mathbf A$ 为正定矩阵 $\implies$ $\mathbf A$ 各阶所有主子式均大于零 $\mathbf A$ 为正定矩阵 $\iff$ $\mathbf A$ 各阶顺序主子式均大于零 (常用于矩阵含参时判定)

注意

注意是主子式 > 0, 不是子式 > 0 注意子式、主子式、顺序主子式、余子式、代数余子式#主子式|主子式的定义