线性表示

对于 $n$ 维向量 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m, \boldsymbol \beta$, 若 $\exists k_1, k_2, \dots, k_m$, 使 $\boldsymbol \beta = k_1 \boldsymbol \alpha_1 + k_2 \boldsymbol \alpha_2 + \cdots + \boldsymbol \alpha_m$ 则 $\boldsymbol \beta$ 是 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots, \boldsymbol \alpha_m$ 的一个线性组合, 或称 $\boldsymbol \beta$ 可用 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots, \boldsymbol \alpha_m$ 线性表示, $k_1, k_2, \dots, k_m$ 为组合系数

与方程组的联系

$n \times m$ 的线性方程组可表示为

$$\mathbf A = (\boldsymbol \alpha_1 \boldsymbol \alpha_2 \cdots \boldsymbol \alpha_m), \mathbf x = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{pmatrix}$$

$$\mathbf A \mathbf x = \boldsymbol \beta$$

增广矩阵可表示为

$$\mathop{\mathbf A}\limits^\sim = (\boldsymbol \alpha_1 \boldsymbol \alpha_2 \cdots \boldsymbol \alpha_m \boldsymbol \beta)$$

定理

$\boldsymbol \beta$ 可用 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots, \boldsymbol \alpha_m$ 线性表示$\iff$ 线性方程组有解 (组合系数即为方程组的解) 见: 秩与方程#一般方程

推论

$\boldsymbol \beta$ 可用 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots, \boldsymbol \alpha_m$ 线性表示$\iff$ 线性方程组有解$\iff$ $r(\mathbf A) = r(\mathop{\mathbf A}\limits^\sim)$

对组合系数的存在性和唯一性的讨论均可类同线性方程组解情况的讨论

见: 秩与方程#一般方程