对于 α1,α2,…αm 若存在 不全为零的 k1,k2,…,km 使 k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0, 则 α1,α2,…αs 线性相关 否则 α1,α2,…αs 线性无关
n×m 的齐次线性方程组可表示为
A=(α1α2⋯αm),x=k1k2⋮kn
Ax=0
α1,α2,…αm 线性相关⟺ 齐次线性方程组有非零解
α1,α2,…αm 线性无关⟺ 齐次线性方程组只有唯一零解
α1,α2,…αm 线性相关⟺ 齐次线性方程组有非零解⟺ r(A)<m
α1,α2,…αm 线性无关⟺ 齐次线性方程组只有唯一零解⟺ r(A)=m
见: 秩与方程#齐次方程
前提: 方阵(m=n)
α1,α2,…αm 线性相关⟺ 齐次线性方程组有非零解⟺ r(A)<m⟺ ∣A∣=0 (不可逆)
α1,α2,…αm 线性无关⟺ 齐次线性方程组只有唯一零解⟺ r(A)=m⟺ ∣A∣=0 (不可逆)
见: 秩与方程#齐次方程
初等行变换不改变向量组的相关无关性 因为初等变换不改变秩
见: 定义与性质
当 m>n 时必线性相关 (向量数 > 阶数)
因为此时 r(A)≤n<m, 故必线性相关
提示
向量组越大(向量数m多)越易相关, 越长(阶数n高)越易无关 {小相关⇒大相关小无关⇐大无关
{短组相关⇐长组相关短组无关⇒长组无关
若 α1,α2,…αm 中部分向量线性相关, 则 α1,α2,…αm 整体也线性相关
即: 小相关 ⇒ 大相关
设 α1,α2,…αs∈Rn, β1,β2,…,βs∈Rm, n+n 维列向量 γi=(αiβi) 若接长向量 γ1,γ2,…γs 线性相关, 则截短向量 α1,α2,…αs 也线性相关
即: 短组相关 ⇐ 长组相关
若 α1,α2,…αm 线性无关, β1,β2,…,βs 可由 α1,α2,…αm 线性表示, 即 (β1,β2,…,βs)=(α1,α2,…αm)Am×s, 则 β1,β2,…,βs 线性相关⟺ r(A)<sβ1,β2,…,βs 线性无关⟺ r(A)=s
即: (m个)无关 ×A (r(A)<s) ⟹ 相关(s个) (m个)无关 ×A (r(A)=s) ⟹ 无关(s个)
当 m<s 时, β1,β2,…,βs 必相关
即: 可由无关的更少向量(αi)表示的更多向量(βi)一定是相关向量
提示
无关向量 不能 用更少向量表示, 可以 用更少向量表示的一定是相关向量