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线性相关与无关

Kamimika...大约 3 分钟学习笔记

线性相关与无关

对于 α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m存在 不全为零的 k1,k2,,kmk_1, k_2, \dots, k_m 使 k1α1+k2α2++kmαm=0k_1 \boldsymbol \alpha_1 + k_2 \boldsymbol \alpha_2 + \dots + k_m \boldsymbol \alpha_m = \mathbf 0, 则 α1,α2,αs\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s 线性相关 否则 α1,α2,αs\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s 线性无关

与方程组的联系

n×mn \times m齐次线性方程组可表示为

A=(α1α2αm),x=(k1k2kn) \mathbf A = (\boldsymbol \alpha_1 \boldsymbol \alpha_2 \cdots \boldsymbol \alpha_m), \mathbf x = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{pmatrix}

Ax=0 \mathbf A \mathbf x = \mathbf 0

定理1

α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m 线性相关    \iff 齐次线性方程组有非零解

α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m 线性无关    \iff 齐次线性方程组只有唯一零解

推论1

α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m 线性相关    \iff 齐次线性方程组有非零解    \iff r(A)<mr(\mathbf A) < m

α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m 线性无关    \iff 齐次线性方程组只有唯一零解    \iff r(A)=mr(\mathbf A) = m

见: 秩与方程#齐次方程

推论2

前提: 方阵(m=nm=n)

α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m 线性相关    \iff 齐次线性方程组有非零解    \iff r(A)<mr(\mathbf A) < m    \iff A=0|\mathbf A| = 0 (不可逆)

α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m 线性无关    \iff 齐次线性方程组只有唯一零解    \iff r(A)=mr(\mathbf A) = m    \iff A0|\mathbf A| \neq 0 (不可逆)

见: 秩与方程#齐次方程

推论3

初等行变换不改变向量组的相关无关性 因为初等变换不改变

见: 定义与性质

推论4

m>nm > n线性相关 (向量数 > 阶数)

因为此时 r(A)n<mr(\mathbf A) \leq n < m, 故必线性相关

提示

向量组越大(向量数m多)越易相关, 越长(阶数n高)越易无关 {小相关大相关小无关大无关\begin{cases} 小相关 \Rightarrow 大相关 \\ 小无关 \Leftarrow 大无关 \end{cases}

{短组相关长组相关短组无关长组无关\begin{cases} 短组相关 \Leftarrow 长组相关 \\ 短组无关 \Rightarrow 长组无关 \end{cases}

定理2

α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m部分向量线性相关, 则 α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m 整体线性相关

即: 小相关 \Rightarrow 大相关

定理3

α1,α2,αsRn\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s \in \mathbb R^n, β1,β2,,βsRm\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s \in \mathbb R^m, n+nn + n 维列向量 γi=(αiβi)\boldsymbol \gamma_i = \begin{pmatrix} \boldsymbol \alpha_i \\ \boldsymbol \beta_i \end{pmatrix}接长向量 γ1,γ2,γs\boldsymbol \gamma_1, \boldsymbol \gamma_2, \dots \boldsymbol \gamma_s 线性相关, 则截短向量 α1,α2,αs\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s 也线性相关

即: 短组相关 \Leftarrow 长组相关

定理4

α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m 线性无关, β1,β2,,βs\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s 可由 α1,α2,αm\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m 线性表示, 即 (β1,β2,,βs)=(α1,α2,αm)Am×s(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s) = (\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m) \mathbf A_{m \times s}, 则 β1,β2,,βs\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s 线性相关    \iff r(A)<sr(\mathbf A) < sβ1,β2,,βs\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s 线性无关    \iff r(A)=sr(\mathbf A) = s

即: (m个)无关 ×A\times \mathbf A (r(A)<s)(r(A) < s)     \implies 相关(s个) (m个)无关 ×A\times \mathbf A (r(A)=s)(r(A) = s)     \implies 无关(s个)

推论

m<sm < s 时, β1,β2,,βs\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s 相关

即: 可由无关的更少向量(αi\boldsymbol \alpha_i)表示的更多向量(βi\boldsymbol \beta_i)一定是相关向量

提示

无关向量 不能更少向量表示, 可以更少向量表示的一定是相关向量

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贡献者: wzh
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