线性相关与无关

对于 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 若存在 不全为零的 $k_1, k_2, \dots, k_m$ 使 $k_1 \boldsymbol \alpha_1 + k_2 \boldsymbol \alpha_2 + \dots + k_m \boldsymbol \alpha_m = \mathbf 0$, 则 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s$ 线性相关 否则 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s$ 线性无关

与方程组的联系

$n \times m$ 的齐次线性方程组可表示为

$$\mathbf A = (\boldsymbol \alpha_1 \boldsymbol \alpha_2 \cdots \boldsymbol \alpha_m), \mathbf x = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{pmatrix}$$

$$\mathbf A \mathbf x = \mathbf 0$$

定理1

$\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 线性相关$\iff$ 齐次线性方程组有非零解

$\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 线性无关$\iff$ 齐次线性方程组只有唯一零解

推论1

$\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 线性相关$\iff$ 齐次线性方程组有非零解$\iff$ $r(\mathbf A) < m$

$\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 线性无关$\iff$ 齐次线性方程组只有唯一零解$\iff$ $r(\mathbf A) = m$

见: 秩与方程#齐次方程

推论2

前提: 方阵($m=n$)

$\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 线性相关$\iff$ 齐次线性方程组有非零解$\iff$ $r(\mathbf A) < m$$\iff$ $|\mathbf A| = 0$ (不可逆)

$\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 线性无关$\iff$ 齐次线性方程组只有唯一零解$\iff$ $r(\mathbf A) = m$$\iff$ $|\mathbf A| \neq 0$ (不可逆)

见: 秩与方程#齐次方程

推论3

初等行变换不改变向量组的相关无关性 因为初等变换不改变秩

见: 定义与性质

推论4

当 $m > n$ 时必线性相关 (向量数 > 阶数)

因为此时 $r(\mathbf A) \leq n < m$, 故必线性相关

提示

向量组越大(向量数m多)越易相关, 越长(阶数n高)越易无关 $\begin{cases} 小相关 \Rightarrow 大相关 \\ 小无关 \Leftarrow 大无关 \end{cases}$

$\begin{cases} 短组相关 \Leftarrow 长组相关 \\ 短组无关 \Rightarrow 长组无关 \end{cases}$

定理2

若 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 中部分向量线性相关, 则 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 整体也线性相关

即: 小相关 $\Rightarrow$ 大相关

定理3

设 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s \in \mathbb R^n$, $\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s \in \mathbb R^m$, $n + n$ 维列向量 $\boldsymbol \gamma_i = \begin{pmatrix} \boldsymbol \alpha_i \\ \boldsymbol \beta_i \end{pmatrix}$ 若接长向量 $\boldsymbol \gamma_1, \boldsymbol \gamma_2, \dots \boldsymbol \gamma_s$ 线性相关, 则截短向量 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s$ 也线性相关

即: 短组相关 $\Leftarrow$ 长组相关

定理4

若 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 线性无关, $\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s$ 可由 $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m$ 线性表示, 即 $(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s) = (\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_m) \mathbf A_{m \times s}$, 则 $\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s$ 线性相关$\iff$ $r(\mathbf A) < s$$\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s$ 线性无关$\iff$ $r(\mathbf A) = s$

即: (m个)无关 $\times \mathbf A$ $(r(A) < s)$ $\implies$ 相关(s个) (m个)无关 $\times \mathbf A$ $(r(A) = s)$ $\implies$ 无关(s个)

推论

当 $m < s$ 时, $\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_s$ 必相关

即: 可由无关的更少向量($\boldsymbol \alpha_i$)表示的更多向量($\boldsymbol \beta_i$)一定是相关向量

提示

无关向量 不能 用更少向量表示, 可以 用更少向量表示的一定是相关向量