极大线性无关组

定义

若向量组 $I$: $\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m, \cdots$ (可无限个) 存在它的部分向量组 $II$: $\boldsymbol \alpha_{i_1}, \boldsymbol \alpha_{i_2}, \cdots \boldsymbol \alpha_{i_r}$ 满足: $\boldsymbol \alpha_{i_1}, \boldsymbol \alpha_{i_2}, \cdots \boldsymbol \alpha_{i_r}$ 线性无关 且原向量组 $I$ 每个向量都可用部分向量组 $II$ 线性表示 则称 $II$ 是 $I$ 的一个极大无关组

求极大无关组

每步添加一个向量 若仍无关则继续添加下一个 若相关则移除再尝试下一个 全部遍历完则可得极大无关组

性质

1. 向量组 等价于 极大无关组1 等价于 极大无关组2 (向量组与极大无关组等价) (任意两个极大无关组等价)
2. 极大无关组所含向量数 = 向量组的秩 $r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_m)$