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向量组的等价

Kamimika...小于 1 分钟学习笔记

向量组的等价

向量组的线性表示和等价

设有两个向量组

  • (I)α1,α2,αs(I) \boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s
  • (II)β1,β2,,βt(II) \boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_t(I)(I)每个向量都能用 (II)(II) 线性表示, 则向量组 (I)(I) 可由向量组 (II)(II) 线性表示

若向量组 (I)(I)(II)(II)可以互相线性表示, 则向量组 (I)(I)(II)(II) 等价

这是一种等价关系 因此具有反身性, 对称性, 传递性

定理

向量组 β1,β2,,βt\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_tα1,α2,αs\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s 等价    \iff r(α1,α2,αs)=r(β1,β2,,βt)r(\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \dots \boldsymbol \alpha_s) = r(\boldsymbol \beta_1, \boldsymbol \beta_2, \dots, \boldsymbol \beta_t)

即: 向量组等价     \iff 构成的矩阵秩相等

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贡献者: wzh
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